Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 5 & 10 \\ 10 & 30 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 30 - 10 \cdot 10$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $5$ par $30$ .

$150 - 10 \cdot 10$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $10$ .

$150 - 100$

Étape 2.2.2

Soustrayez $100$ de $150$ .

$50$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{50} [\begin{array}{c} 30 & - 10 \\ - 10 & 5 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{50}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{50} \cdot 30 & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $10$ à partir de $50$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10 (5)} \cdot 30 & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.1.2

Factorisez $10$ à partir de $30$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot 3) & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot 3) & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} \cdot 3 & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $10$ à partir de $50$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{10 (5)} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.3.2

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot - 1) \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot - 1) \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.3.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot - 1 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{- 1}{5} \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $10$ à partir de $50$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{10 (5)} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.6.2

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot - 1) & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.6.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot - 1) & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.6.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \cdot - 1 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.7

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{5} & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.9

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.9.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{5 (10)} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.9.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{5 \cdot 10} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 6.9.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \end{array}]$